Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng displaystyle ax+b<0.

Xem thêm: Tìm tập nghiệm của bất phương trình lớp 10

Giải bất phương trình dạng displaystyle ax+b<0 (1)

  • + Nếu a=0 thì bất phương trình có dạng displaystyle 0.x+b<0

– Với b<0 thì tập nghiệm BPT là S = Ø

– Với bge 0 thì tập nghiệm BPT là displaystyle text{S}=mathbb{R}

  • + Nếu a>0 thì left( 1 right)Leftrightarrow x<-frac{b}{a} suy ra tập nghiệm là S=left( -infty ;-frac{b}{a} right)
  • + Nếu a<0 thì left( 1 right)Leftrightarrow x>-frac{b}{a} suy ra tập nghiệm là S=left( -frac{b}{a};+infty right)

Các bất phương trình dạng displaystyle ax+b>0,,,ax+ble 0,,,ax+bge 0 được giải hoàn toán tương tự

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

  • DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG displaystyle ax+b<0.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là Sai?

a) displaystyle mx+6le 2x+3m

A. m=2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x(có tập nghiệm là S=mathbb{R}).

B. m>2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<3(có tập nghiệm là S=left( -infty ;3 right))

C. m<2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x>3(có tập nghiệm là S=left( 3;+infty right))

D. Cả A, B, C đều sai

b) displaystyle left( x+m right)m+x>3x+4

A. m=2 bất phương trình vô nghiệm

B. m>2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x>-m-2

C. m<2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<-m-2

D. Cả A, B, C đều sai

c) left( {{m}^{2}}+9 right)x+3ge mleft( 1-6x right)

A. m=-3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x.

B. mne -3 bất phương trình có nghiệm là xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}.

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

d) mleft( {{m}^{2}}x+2 right)<x+{{m}^{2}}+1

A. m=2 bất phương trình vô nghiệm

B. m>1 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}

C. m<1 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

a) Bất phương trình tương đương với displaystyle left( m-2 right)x<3m-6

Với m=2 bất phương trình trở thành 0xle 0suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x.

Với m>2 bất phương trình tương đương với displaystyle x<frac{3m-6}{m-2}=3

Với m<2 bất phương trình tương đương với displaystyle x>frac{3m-6}{m-2}=3

Kết luận

m=2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x(có tập nghiệm là S=mathbb{R}).

m>2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<3(có tập nghiệm là S=left( -infty ;3 right))

Đọc thêm: Giải phương trình bậc 2 trong C

m<2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x>3(có tập nghiệm là S=left( 3;+infty right))

b) Bất phương trình tương đương với displaystyle left( m-2 right)x>4-{{m}^{2}}

Với m=2 bất phương trình trở thành 0x>0suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với m>2 bất phương trình tương đương với displaystyle x>frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2

Với m<2 bất phương trình tương đương với displaystyle x<frac{4-{{m}^{2}}}{m-2}=-m-2

Kết luận

m=2 bất phương trình vô nghiệm

m>2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x>-m-2

m<2 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<-m-2

c) Bất phương trình tương đương với {{left( m+3 right)}^{2}}xge m-3

Với m=-3 bất phương trình trở thành 0xge -6suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x.

Với mne -3 bất phương trình tương đương với xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}

Kết luận

m=-3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x.

mne -3 bất phương trình có nghiệm là xge frac{m-3}{{{left( m+3 right)}^{2}}}.

d) Bất phương trình tương đương với Leftrightarrow left( {{m}^{3}}-1 right)x<{{m}^{2}}-2m+1

Leftrightarrow left( m-1 right)x<frac{{{left( m-1 right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+m+1} (vì {{m}^{2}}+m+1={{left( m+frac{1}{2} right)}^{2}}+frac{3}{4}>0 )

Với m=1 bất phương trình trở thành 0x<0suy ra bất phương trình vô nghiệm.

Với m>1 bất phương trình tương đương với displaystyle x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}

Với m<1 bất phương trình tương đương với displaystyle x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}

Kết luận

m=2 bất phương trình vô nghiệm

m>1 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}

m<1 bất phương trình có nghiệm là displaystyle x>frac{m-1}{{{m}^{2}}+m+1}.

Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình displaystyle left( {{m}^{2}}-m right)x+m<6x-2 vô nghiệm.

A. m=-2m=3

B. m=-2m=5

C. m=5m=3

D. m=5m=2

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với displaystyle left( {{m}^{2}}-m-6 right)x<-2-m

Rõ ràng nếu m2-m-6=0⇔m≠-2m≠3 thì bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m=-2 bất phương trình trở thành 0x<0 suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với m=3 bất phương trình trở thành 0x<-5 suy ra bất phương trình vô nghiệm

Vậy giá trị cần tìm là m=-2m=3.

Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình displaystyle 4{{m}^{2}}left( 2x-1 right)ge left( 4{{m}^{2}}+5m+9 right)x-12m có nghiệm đúng forall xin mathbb{R}.

A. m=frac{9}{4} B. m=frac{7}{4} C. m=frac{5}{4} D. m=frac{3}{4}

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với displaystyle left( 4{{m}^{2}}-5m-9 right)xge 4{{m}^{2}}-12m

Tham khảo: Tổng hợp những bài thơ, câu nói, caption, status hay và ý nghĩa về mùa đông

Dễ dàng thấy nếu 4m2-5m-9≠0⇔m≠-1m≠94 thì bất phương trình không thể có nghiệm đúng forall xin mathbb{R}

Với m=-1 bất phương trình trở thành 0xge 16 suy ra bất phương trình vô nghiệm

Với m=frac{9}{4} bât phương trình trở thành 0xge -frac{27}{4} suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x.

Vậy giá trị cần tìm là m=frac{9}{4}.

  • DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

a) displaystyle left{ begin{array}{l}5x-2>4x+5\5x-4<x+2end{array} right. b) displaystyle left{ begin{array}{l}6x+frac{5}{7}<4x+7\frac{8x+3}{2}<2x+5end{array} right.

c) displaystyle left{ begin{array}{l}5x-2<4x+5\{{x}^{2}}<{{left( x+2 right)}^{2}}end{array} right. d) displaystyle left{ begin{array}{l}x-1le 2x-3\3x<x+5\frac{5-3x}{2}le x-3end{array} right.

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với

displaystyle left{ begin{array}{l}5x-2>4x+5\5x-4<x+2end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x>7\x<frac{3}{2}end{array} right.

Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.

b) Hệ bất phương trình tương đương với

displaystyle left{ begin{array}{l}6x+frac{5}{7}<4x+7\frac{8x+3}{2}<2x+5end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x<frac{22}{7}\x<frac{7}{4}end{array} right.Leftrightarrow x<frac{7}{4}

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là displaystyle x<frac{7}{4}

c) Hệ bất phương trình tương đương với x<7x>-1⇔-1<x<7

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là -1<x<7.

d) Hệ bất phương trình tương đương với left{ begin{array}{l}xge 2\x<frac{5}{2}\xge frac{11}{5}end{array} right.Leftrightarrow frac{11}{5}le xle frac{5}{2}

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là frac{11}{5}le xle frac{5}{2}.

Ví dụ 2. Tìm m để hệ bất phương trình displaystyle left{ begin{array}{l}2x-1le x+2\mleft( m+1 right)x+4mge left( m-2 right)x+3{{m}^{2}}+6end{array} right. có nghiệm.

A. mge 0 B. m<0 C. mle 0 D. m=0

Lời giải:

a) Hệ bất phương trình tương đương với x≤3m2+2x≥3m2-4m+6⇔x≤3x≥3m2-4m+6m2+2

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi displaystyle frac{3{{m}^{2}}-4m+6}{{{m}^{2}}+2}le 3Leftrightarrow mge 0.

Vậy mge 0 là giá trị cần tìm.

DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

Ví dụ : Cho bất phương trình sqrt{left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3}>2.

a) Giải bất phương trình khi m=1

A. displaystyle text{S}=(-infty ;-frac{2}{3}text{ }!!]!!text{ } B. displaystyle text{S}=left[ -frac{2}{3};+infty right)

C. displaystyle text{S}=mathbb{R} D. displaystyle text{S}=varnothing

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi displaystyle x

A. m=2 B. m=-2 C. m=pm 2 D.Không tồn tại m

Lời giải:

a) Khi m=1 bất phương trình trở thành sqrt{-3x+2}>2

⇔-3x+2≥0-3x+2≥4⇔x≤-23

Vậy tập nghiệm bất phương trình là displaystyle text{S}=(-infty ;-frac{2}{3}text{ }!!]!!text{ }

b) ĐKXĐ: left( {{m}^{2}}-4 right)x-m+3ge 0 (*)

Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọidisplaystyle x thì khi đó (*) đúng mọi displaystyle x

Suy ra {{m}^{2}}-4=0Leftrightarrow m=pm 2

Với m=2 ta có bất phương trình trở thành sqrt{0.x-2+3}>2(vô nghiệm)

Với m=-2 ta có bất phương trình trở thành sqrt{0.x+2+3}>2 (đúng với mọi displaystyle x)

Vậy m=-2 là giá trị cần tìm.

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.