Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) y f(x) song song với đường thẳng d: y ax b

Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) y f(x) song song với đường thẳng d: y ax b

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Dạng toán này thường ra để học sinh lấy điểm, cho nên các em học sinh, các bạn cần nắm vững kiến thức và làm chắc dạng toán này. Viết phương trình tiếp tuyến thường ra có dạng: phương trình tiếp tuyến tại điểm, phương trình tiếp tuyến qua điểm, phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k, và phương trình tiếp tuyến chứa tham số m.. Cụ thể cách viết phương trình tiếp tuyến như thế nào, chúng ta cùng đến với nội dung ngay sau đây.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc m tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x0, y0).

Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến công thức

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x0, y0) là y = y'(x0 )(x – x0) + y0.

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

Các dạng toán về phương trình tiếp tuyến

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Tiếp tuyến tại tiếp điểm
Tiếp tuyến tại tiếp điểm

Phương pháp:

Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x0, y0).

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0).

Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0, y0) có dạng:

y = y'(x0)(x – x0) + y0.

Chú ý:

– Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).

– Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b.

Đặc biệt: Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0.

Sử dụng máy tính cầm tay:

phuong trinh tiep tuyen 3

Nhận xét: Sử dụng máy tính để lập phương trình tiếp tuyến tại điểm thực chất là cách rút gọn các bước ở cách tính thủ công. Sử dụng máy tính giúp các em tính toán nhanh hơn và chính xác hơn. Hơn nữa với hình thức thi trắc nghiệm thì sử dụng máy tính cầm tay là phương pháp được nhiều giáo viên hướng dẫn và học sinh chọn.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C); y = x3 + 2×2 tại điểm M (1; 3).

Giải:

Cách 1: Ta có y’ = 3×2 + 4x => k = y'(1) = 3.12 + 4.1 = 7.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (1; 3) là:

d: y = y’0 (x – x0) + y0 <=> y = 7.(x – 1) + 3 <=> y = 7x – 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 7x – 4.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

phuong trinh tiep tuyen 4

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại M là y = 7x – 4.

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Giải:

Cách 1:

Ta có: x0 = -1. Suy ra y0 = y(-1) = 1/2 và

Phương trình tiếp tuyến tại M là: phuong trinh tiep tuyen 7

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4.

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

phuong trinh tiep tuyen 8

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – (3x/ 4) – 1/4.

Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục hoành của hàm số (C): y = x4 – 2×2.

Giải:

Cách 1:

Ta có: 4×3 – 4x = 4x.(x2 – 1)

Giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục hoành Ox là:

Bây giờ bài toán chuyển thành dạng viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

+ Với x0 = 0 => y0 = 0 và k = y'(x0)= 0.

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (0; 0) có hệ số góc k = 0 là: y = 0.

+ Với và phuong trinh tiep tuyen 11

Tham khảo: Những câu nói hay về cuộc sống khó khăn giúp bạn mạnh mẽ hơn

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (√2; 0) có hệ số góc k = 4√2 là:

phuong trinh tiep tuyen 12

+ Với và phuong trinh tiep tuyen 14

=> Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ (-√2; 0) có hệ số góc k = – 4√2 là:

phuong trinh tiep tuyen 15

Vậy có 3 tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là:

y = 0, y = 4√2x – 8 và y = – 4√2x – 8.

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA).

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA), hệ số góc k có dạng:

d: y = k( x- xA) + yA (*)

Bước 2. d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm.

Bước 3. Giải hệ phương trình trên, tìm được x, suy ra tìm được k, sau đó thế vào phương trình đường thẳng d (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2:

Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tiếp điểm. Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0) theo x0.

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = f'(x0).(x – x0) + f(x0) (**).

Vì điểm A(xA; yA) thuộc d nên yA = f'(x0).(xA – x0) + f(x0). Giải phương trình trên tìm được x0.

Bước 3. Thay x0 vừa tìm được vào (**) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm .

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4×3 + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2).

Ta có: y’= – 12×2 + 3

Giải:

– Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phuong trinh tiep tuyen 18 có nghiệm.

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

– 4×3 + 3x + 1 = (-12×2 + 3)(x + 1) + 2

phuong trinh tiep tuyen 19

<=> x = -1 hoặc x = 1/2.

+ Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng -9.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7.

+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.

Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C): đi qua điểm A(-1; 4).

Giải:

Điều kiện: x khác – 1. Ta có:

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4.

Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Thay k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

<=> phuong trinh tiep tuyen 24

Đối chiếu với điều kiện x khác – 1 thì nghiệm x = -1 (loại), nghiệm x = -4 (nhận).

Với x = -4 =>

Phương trình tiếp tuyến là

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp:

Tham khảo: 105 Stt chửi xéo có văn hóa cực chất, cay cú nhất mọi thời đại

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

Phương pháp giải:

Bước 1. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f'(x)

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0.

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng như sau:

d: y = y’0.(x – x0) + y0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng:

– Tiếp tuyến d // đường thẳng Δ: y = ax + b => k = a.

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d // đường thẳng cho trước có hệ số góc k = a.

Sau khi lập được phương trình tiếp tuyến thì nhớ kiểm tra lại tiếp tuyến có trùng với đường thẳng d hay không. Nếu trùng thì không nhận kết quả đó.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước
Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng:

– Tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax + b => k.a = -1 => k = -(1/a).

Tổng quát: phương trình tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng cho trước có hệ số góc k = -(1/k).

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α:

– Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó:

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x3 – 3x + 2 có hệ số góc bằng 9.

Giải:

Ta có: y’= 3×2 – 3. Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M(x0; y0). Suy ra hệ số góc tiếp tuyến là k = y'(x0)

<=> phuong trinh tiep tuyen 30

+ Với x0 = 2 => y0 = (23) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1(2; 4).

Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1: phuong trinh tiep tuyen 31

+ Với x0 = -2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 (-2; 0).

Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2: phuong trinh tiep tuyen 32

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d1): y = 9x – 14 và (d2): y = 9x + 18.

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m2 – 4)x + 2m – 1.

Giải:

TXD: D = R

Ta có: y’ = 3×2 – 6x.

Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra phuong trinh tiep tuyen 33

Vậy tọa độ điểm M (1; -2).

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng:

y – y0 = y'(x0).(x – x0) <=> y + 2 = (3.12 – 6.1).(x – 1) <=> y = -3x + 1.

Khi đó để (d) // Δ:

Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.

Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.

Bài tập phương trình tiếp tuyến nâng cao

phuong trinh tiep tuyen 36

phuong trinh tiep tuyen 37

phuong trinh tiep tuyen 38

phuong trinh tiep tuyen 39

Trên đây là các dạng toán về phương trình tiếp tuyến và những phương pháp tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có ví dụ cụ thể. Hy vọng rằng các em nắm được phần kiến thức quan trọng này. Truy cập lessonopoly để học giỏi môn toán nhé.

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.