2.1. Phương trình tham số của đường thẳng
a) Phương trình tham số của đường thẳng
Trong không gian, đường thẳng (Delta) đi qua (M(x_0,y_0,z_0)) và nhận vectơ (vec u=(a,;b;c)) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:
(Delta: left{begin{matrix} x=x_0+at\ y=y_0+bt\ z=z_0+ct end {matrix}right.(tinmathbb{R})) (t được gọi là tham số).
Nếu (a,b,c ne 0) thì ta có phương trình (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b} = frac{{z – {z_0}}}{c}=t).
Hay (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b} = frac{{z – {z_0}}}{c}) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng (Delta).
b) Một số cách xác định Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Nếu (Delta _1 //Delta 2), (overrightarrow{u_1}) là 1 VTCP của (Delta _1) thì (overrightarrow{u_1}) là 1 VTCP của (Delta _2).
- Nếu (Delta _1perp Delta _2), (overrightarrow{u_1}) là 1 VTCP của (Delta _1), (overrightarrow{u_2}) là 1 VTCP của (Delta _2) thì (overrightarrow{u_1}.overrightarrow{u_2}=0.)
- Nếu đường thẳng (Delta) có VTCP (vec u), tồn tại hai vectơ (vec u_1) và (vec u_2) sao cho (left{begin{matrix} overrightarrow{u}perp overrightarrow{u_1}\ overrightarrow{u}perp overrightarrow{u_2} end{matrix}right.) thì (overrightarrow{u}=left [ overrightarrow{u_1},overrightarrow{u_2} right ]) là một VTCP của (Delta).
- Cho đường thẳng (Delta) và mặt phẳng (P) sao cho: (bigg lbrack begin{matrix} Delta subset (P)\ Delta // (P) end{matrix}). Gọi (overrightarrow{u}) là một VTCP (Delta), (overrightarrow{n_P}) là VTPT của (P) thì (overrightarrow{u}.overrightarrow{n_P}=0.)
- Nếu (A,Bin Delta) thì (overrightarrow{AB}) là một VTCP của (Delta).
2.2. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng
Trong không gian cho hai đường thẳng: (Delta _1) đi qua M1 và có một VTCP (overrightarrow{u_1}), (Delta _2) đi qua M2 và có một VTCP (overrightarrow{u_2}).
Khi đó Vị trí tương đối giữa (Delta _1) và (Delta _2) được xác định như sau:
- (Delta _1) và (Delta _2) chéo nhau (Leftrightarrow left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ]. overrightarrow{M_1.M_2}neq 0).
- (Delta _1) và (Delta _2) cắt nhau (Leftrightarrow left{begin{matrix} left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ]. overrightarrow{M_1.M_2}= 0\ overrightarrow{u_1}neq k. overrightarrow{u_2} end{matrix}right.).
- (Delta _1) // (Delta _2) (Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{u_1}=k.overrightarrow{u_2}\ M_1in Delta _1, M_1notin Delta _2 end{matrix}right.).
- (Delta _1equiv Delta _2 Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{u_1}=k.overrightarrow{u_2}\ M_1in Delta _1, M_1in Delta _2 end{matrix}right.).
2.3. Góc giữa hai đường thẳng
- Trong không gian cho hai đường thẳng (Delta _1) có một VTCP (overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1)), (Delta _2) có một VTCP (overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2)), khi đó:
(cos(Delta _1;Delta _2)=left | cos(overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}) right |=frac{left | overrightarrow{u_1}overrightarrow{u_2} right |}{ left | overrightarrow{u_1} right |.left | overrightarrow{u_2} right |})(=frac{left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 right |}{sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}})
- Nhận xét:
- (0^0leq (Delta _1;Delta _2)leq 90^0).
- (Delta _1perp Delta _2Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0).
2.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian cho đường thẳng (Delta) có một VTCP (overrightarrow{u}=(a;b;c)), mặt phẳng (P) có một VTPT (overrightarrow{n}=(A;B;C)), khi đó:
(sin(widehat{Delta ;(P)})=left | cos(overrightarrow{n};overrightarrow{u}) right |= frac{left | Aa+Bb+Cc right |}{sqrt{A^2+B^2+C^2}.sqrt{a^2+b^2+c^2}})
2.5. Các công thức tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng
a) Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng (Delta) đi qua N và có một VTCP (overrightarrow{u}). Khi đó khoảng cách từ M đến (Delta) xác định bởi công thức:
(d(M;Delta )=frac{left | left [ overrightarrow{NM};overrightarrow{u} right ] right |}{left | overrightarrow{u} right |})
b) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng (Delta) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng (Delta). Khi đó:
(d(Delta;(P))=d(M;(P)))
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1: Trong không gian cho đường thẳng (Delta _1) đi qua M1 có một VTCP (overrightarrow{u_1}), (Delta _2) đi qua M2 có một VTCP (overrightarrow{u_2}). Khi đó:
(d(Delta _1;Delta _2)=frac{left | [overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}] .overrightarrow{M_1M_2}right |}{[overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}]})
Cách 2: Gọi AB là đoạn vuông góc chung (Delta _1), (Delta _2) với(Ain Delta _1, Bin Delta _2) suy ra: (left{begin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_1}=0\ overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_2}=0 end{matrix}right.). Khi đó:
(d(Delta _1;Delta _2)=AB)