Hình học 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

Hình học 12 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

2.1. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, đường thẳng (Delta) đi qua (M(x_0,y_0,z_0)) và nhận vectơ (vec u=(a,;b;c)) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là:

(Delta: left{begin{matrix} x=x_0+at\ y=y_0+bt\ z=z_0+ct end {matrix}right.(tinmathbb{R})) (t được gọi là tham số).

Xem thêm: Phương trình đường thẳng trong không gian

Nếu (a,b,c ne 0) thì ta có phương trình (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b} = frac{{z – {z_0}}}{c}=t).

Hay (frac{{x – {x_0}}}{a} = frac{{y – {y_0}}}{b} = frac{{z – {z_0}}}{c}) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng (Delta).

b) Một số cách xác định Vectơ chỉ phương của đường thẳng

  • Nếu (Delta _1 //Delta 2), (overrightarrow{u_1}) là 1 VTCP của (Delta _1) thì (overrightarrow{u_1}) là 1 VTCP của (Delta _2).
  • Nếu (Delta _1perp Delta _2), (overrightarrow{u_1}) là 1 VTCP của (Delta _1), (overrightarrow{u_2}) là 1 VTCP của (Delta _2) thì (overrightarrow{u_1}.overrightarrow{u_2}=0.)
  • Nếu đường thẳng (Delta) có VTCP (vec u), tồn tại hai vectơ (vec u_1) và (vec u_2) sao cho (left{begin{matrix} overrightarrow{u}perp overrightarrow{u_1}\ overrightarrow{u}perp overrightarrow{u_2} end{matrix}right.) thì (overrightarrow{u}=left [ overrightarrow{u_1},overrightarrow{u_2} right ]) là một VTCP của (Delta).
  • Cho đường thẳng (Delta) và mặt phẳng (P) sao cho: (bigg lbrack begin{matrix} Delta subset (P)\ Delta // (P) end{matrix}). Gọi (overrightarrow{u}) là một VTCP (Delta), (overrightarrow{n_P}) là VTPT của (P) thì (overrightarrow{u}.overrightarrow{n_P}=0.)
  • Nếu (A,Bin Delta) thì (overrightarrow{AB}) là một VTCP của (Delta).

2.2. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng

Trong không gian cho hai đường thẳng: (Delta _1) đi qua M1 và có một VTCP (overrightarrow{u_1}), (Delta _2) đi qua M2 và có một VTCP (overrightarrow{u_2}).

Đọc thêm: Phương trình đường tròn lớp 10 chuẩn nhất

Khi đó Vị trí tương đối giữa (Delta _1) và (Delta _2) được xác định như sau:

  • (Delta _1) và (Delta _2) chéo nhau (Leftrightarrow left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ]. overrightarrow{M_1.M_2}neq 0).
  • (Delta _1) và (Delta _2) cắt nhau (Leftrightarrow left{begin{matrix} left [ overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2} right ]. overrightarrow{M_1.M_2}= 0\ overrightarrow{u_1}neq k. overrightarrow{u_2} end{matrix}right.).
  • (Delta _1) // (Delta _2) (Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{u_1}=k.overrightarrow{u_2}\ M_1in Delta _1, M_1notin Delta _2 end{matrix}right.).
  • (Delta _1equiv Delta _2 Leftrightarrow left{begin{matrix} overrightarrow{u_1}=k.overrightarrow{u_2}\ M_1in Delta _1, M_1in Delta _2 end{matrix}right.).

2.3. Góc giữa hai đường thẳng

  • Trong không gian cho hai đường thẳng (Delta _1) có một VTCP (overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1)), (Delta _2) có một VTCP (overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2))​, khi đó:

(cos(Delta _1;Delta _2)=left | cos(overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}) right |=frac{left | overrightarrow{u_1}overrightarrow{u_2} right |}{ left | overrightarrow{u_1} right |.left | overrightarrow{u_2} right |})(=frac{left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 right |}{sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}})

  • Nhận xét:
    • ​(0^0leq (Delta _1;Delta _2)leq 90^0).
    • (Delta _1perp Delta _2Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0).

2.4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng (Delta) có một VTCP (overrightarrow{u}=(a;b;c)), mặt phẳng (P) có một VTPT (overrightarrow{n}=(A;B;C)), khi đó:

(sin(widehat{Delta ;(P)})=left | cos(overrightarrow{n};overrightarrow{u}) right |= frac{left | Aa+Bb+Cc right |}{sqrt{A^2+B^2+C^2}.sqrt{a^2+b^2+c^2}})

2.5. Các công thức tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng

a) Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng (Delta) đi qua N và có một VTCP (overrightarrow{u}). Khi đó khoảng cách từ M đến (Delta) xác định bởi công thức:

(d(M;Delta )=frac{left | left [ overrightarrow{NM};overrightarrow{u} right ] right |}{left | overrightarrow{u} right |})

b) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng (Delta) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng (Delta). Khi đó:

Đọc thêm: Những Câu Chúc Ngủ Ngon Hay Trên Facebook Siêu Dễ Thương

(d(Delta;(P))=d(M;(P)))

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1: Trong không gian cho đường thẳng (Delta _1) đi qua M1 có một VTCP (overrightarrow{u_1}), (Delta _2) đi qua M2 có một VTCP (overrightarrow{u_2}). Khi đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=frac{left | [overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}] .overrightarrow{M_1M_2}right |}{[overrightarrow{u_1};overrightarrow{u_2}]})

Cách 2: Gọi AB là đoạn vuông góc chung (Delta _1), (Delta _2) với(Ain Delta _1, Bin Delta _2) suy ra: (left{begin{matrix} overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_1}=0\ overrightarrow{AB}.overrightarrow{u_2}=0 end{matrix}right.). Khi đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=AB)

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.