Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Nội Dung Chính

1. Phương trình bậc hai là gì?

Phương trình bậc hai (ẩn $x$) là phương trình có dạng $$ax^2+bx=0$$ trong đó $ane 0$.

Cách giải phương trình bậc 2. Chúng ta tính đại lượng sau (đặt là $Delta$) $$Delta=b^2-4ac$$ Khi đó, tùy vào giá trị dương, âm, bằng không của $Delta$ mà chúng ta có kết luận về nghiệm của phương trình bậc 2.

  • $Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
  • $Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
  • $Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}, x_2=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}. $$

Xem thêm:

  • Giải và biện luận phương trình ax+b=0
  • Giải và biện luận phương trình bậc 2

Ví dụ 1. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$ nên tính được $$ Delta=(-4)^2-4cdot 1cdot (-6)=40 $$ Vì $ 40>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ frac{-(-4)+sqrt{40}}{2}$ và $ frac{-(-4)-sqrt{40}}{2}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+sqrt{10}$ và $ 2-sqrt{10}$.

Ví dụ 2. Giải phương trình $x^2-3x+6=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=3,c=6$ nên tính được $$ Delta=3^2-4cdot 1cdot 6=-15 $$ Vì $ -15<0$ nên phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải phương trình $x^2-2x+1=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-2,c=1$ nên tính được $$ Delta=(-2)^2-4cdot 1cdot 1=0 $$ nên phương trình có một nghiệm là $x=frac{-(-2)}{2}=1$.

Lưu ý, nếu hệ số $b$ chẵn, tức là có dạng $b=2b’$ thì có thể tính $Delta’=b’^2-ac$ thay cho $Delta$. Lúc đó, công thức nghiệm là $frac{-b’pmsqrt{Delta’}}{a}$.

Ví dụ 4. Giải phương trình $x^2-4x-6=0$

Chúng ta có các hệ số $a=1,b=-4,c=-6$. Nhận thấy $b=2cdot(-2)$ nên tính $$ Delta’=(-2)^2-cdot 1cdot (-6)=10 $$ Vì $ 10>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $ frac{-(-2)+sqrt{10}}{1}$ và $ frac{-(-2)-sqrt{10}}{1}$. Rút gọn hai nghiệm này được $ 2+sqrt{10}$ và $ 2-sqrt{10}$, chính là hai nghiệm ở ví dụ 1.

2. Phương trình bậc hai có nghiệm khi nào?

Như vậy, phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi $$Delta geqslant 0$$

Lúc đó, chúng ta có định lý Viète như sau $$ begin{cases} x_1+x_2=frac{-b}{a}\ x_1x_2=frac{c}{a} end{cases} $$

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi begin{align}&Delta=(-3)^2-4(m-5) geqslant 0\ Leftrightarrow & 29-4m geqslant 0\ Leftrightarrow & m leqslant frac{29}{4} end{align}

3. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi nào?

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$Delta >0.$$

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi begin{align}&Delta=(-3)^2-4(m-5) > 0\ Leftrightarrow & 29-4m > 0\ Leftrightarrow & m <frac{29}{4} end{align}

4. Phương trình bậc hai vô nghiệm khi nào?

Phương trình bậc hai có 2 nghiệm (phân biệt) khi và chỉ khi $$Delta <0.$$

Ví dụ. Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$x^2-3x+m-5=0$$ Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi begin{align}&Delta=(-3)^2-4(m-5) < 0\ Leftrightarrow & 29-4m < 0\ Leftrightarrow & m >frac{29}{4} end{align}

5. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương khi nào?

Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $ane 0$ có hai nghiệm (phân biệt) dương khi và chỉ khi $$ begin{cases} Delta >0\ x_1+x_2=frac{-b}{a}>0\ x_1 cdot x_2 =frac{c}{a}>0 end{cases} $$

6. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm khi nào?

Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $ane 0$ có hai nghiệm (phân biệt) âm khi và chỉ khi $$ begin{cases} Delta >0\ x_1+x_2=frac{-b}{a}<0\ x_1 cdot x_2 =frac{c}{a}>0 end{cases} $$

7. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu?

Phương trình bậc hai $ax^2+bx=0$ với $ane 0$ có hai nghiệm (phân biệt) trái dấu khi và chỉ khi $$ x_1 cdot x_2 =frac{c}{a}<0 $$ hoặc đơn giản hơn là $$ac<0.$$

8. Phương trình bậc hai có hai nghiệm lớn hơn một số, nhỏ hơn một số cho trước (định lý đảo)

Phương trình bậc hai $f(x)=ax^2+bx=0$ với $ane 0$ có hai nghiệm (phân biệt) $ x_1,x_2$ (giả sử $ x_1<x_2$) và thỏa mãn yêu cầu

  • $ x_1<alpha <x_2$: điều kiện cần và đủ là $ acdot f(alpha) <0$
  • $ x_1< x_2<alpha $: điều kiện cần và đủ là $ begin{cases} Delta >0\ acdot f(alpha) >0\ frac{x_1+x_2}{2} <alpha end{cases}$
  • $ alpha <x_1< x_2 $: điều kiện cần và đủ là $ begin{cases} Delta >0\ acdot f(alpha) >0\ frac{x_1+x_2}{2} >alpha end{cases}$

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.