Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

  • Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
  • Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
  • Sách giáo khoa hình học 11
  • Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
  • Giải Sách Bài Tập Toán Lớp 11
  • Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
  • Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
  • Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
  • Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
  • Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
  • Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
  • Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
  • Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách giải toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Xem thêm: Giải các phương trình sau lớp 11

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 29: Giải các phương trình trong ví dụ 1.

a) 2sinx – 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) √3 tanx + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đố với tanx.

Lời giải:

a)2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = 3/2 , vô nghiệm vì |sin⁡x| ≤ 1

b)√3tan⁡x + 1 = 0 ⇔ tan⁡x = (-√3)/3 ⇔ x = (-π)/6 + kπ, k ∈ Z

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0;

b) 3tan2x – 2√3 tanx + 3 = 0.

Lời giải:

a)3cos2x – 5 cos⁡ x + 2 = 0

Đặt cos⁡ x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 – 5t + 2 = 0(1)

Δ = (-5)2 – 4.3.2 = 1

Phương trình (1)có hai nghiệm là: Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11 Tra Loi Cau Hoi Toan 11 Dai So Bai 3 Trang 31

Ta có:

cos⁡x = 1 ⇔ cos⁡x = cos⁡0

⇔ x = k2π, k ∈ Z

cos⁡x = 2/3 ⇔ x = ± arccos⁡ 2/3 + k2π, k ∈ Z

b) 3tan2 x – 2√3 tan⁡x + 3 = 0

Đặt tan⁡x = t

ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 – 2√3 t + 3 = 0(1)

Δ = (-2√3)2 – 4.3.3 = -24 < 0

Vậy Phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

Lời giải:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α + cos2α = 1

1 + tan2α = 1/(cos2α); α ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z

1 + cot2α = 1/(sin2α); α ≠ kπ, k ∈ Z

tan⁡α.cot⁡α = 1; α ≠ kπ/2, k ∈ Z

b) Công thức cộng:

cos⁡(a – b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b – sin⁡a sin⁡b

sin⁡(a – b) = sin⁡a cos⁡b – cos⁡a sin⁡b

Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11 Tra Loi Cau Hoi Toan 11 Dai So Bai 3 Trang 32 1

c) Công thức nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos2α – sin2α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α

Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11 Tra Loi Cau Hoi Toan 11 Dai So Bai 3 Trang 32 2

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

cos⁡ a cos⁡b = 1/2 [cos⁡(a – b) + cos⁡(a + b) ]

sin⁡a sin⁡b = 1/2 [cos⁡(a – b) – cos⁡(a + b) ]

sin⁡a cos⁡b = 1/2 [sin⁡(a – b) + sin⁡(a + b) ]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11 Tra Loi Cau Hoi Toan 11 Dai So Bai 3 Trang 32 3

Lời giải:

3cos2 6x + 8sin⁡3x cos⁡3x – 4 = 0

⇔3(1-sin26x)+ 4sin⁡6x – 4 = 0

⇔-3sin26x + 4sin⁡6x – 1 = 0

Đặt sin⁡6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*),

ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t2 + 4t – 1 = 0(1)

Đọc thêm: Trọn bộ 999 stt về con gái học võ cực chất được yêu thích nhất

Δ = 42 – 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1)có hai nghiệm là:

Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11 Tra Loi Cau Hoi Toan 11 Dai So Bai 3 Trang 34

Ta có:

sin⁡6x = (-1)/3 ⇔ 6x = arcsin (-1)/3 + k2π và 6x = π – arcsin (-1)/3 + k2π

⇔ x = 1/6 arcsin (-1)/3 + k π/3,và x = π/6 – 1/6 arcsin (-1)/3 + kπ/3, k ∈ Z

sin⁡6x = -1 ⇔ sin⁡6x = sin⁡(-π)/2

⇔ 6x = (-π)/2 + k2π, k ∈ Z

⇔ x = (-π)/12 + kπ/3, k ∈ Z

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa;

cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và kết quả cos π/4 = sinπ/4 = √2/2, hãy chứng minh rằng:

a) sinx + cosx = √2 cos(x – π/4);

b) sin x – cosx = √2 sin(x – π/4).

Lời giải:

a)sin⁡x + cos⁡x = √2.(√2/2 sin⁡x + √2/2 cos⁡x )

= √2.(sin⁡ π/4 sin⁡x + cos⁡ π/4 cos⁡x )

= √2.cos⁡(x – π/4)

b)sin⁡x – cos⁡x = √2.(√2/2 sin⁡x – √2/2 cos⁡x )

= √2.(cos⁡ π/4 sin⁡x + sin⁡ π/4 cos⁡x )

= √2.sin⁡(x – π/4)

Lời giải:

Giải bài tập Toán 11 | Giải Toán lớp 11 Tra Loi Cau Hoi Toan 11 Dai So Bai 3 Trang 36

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải phương trình: sin2x – sin x = 0

Lời giải:

Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 1 Trang 36 Sgk Dai So 11 1

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 1 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 1 Trang 36 Sgk Dai So 11 2 (k ∈ Z).

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cos x + 1 = 0

b) 2sin 2x + √2.sin4x = 0.

Lời giải:

a. 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

đặt t = cosx, điều kiện -1 ≤ t ≤ 1

(1) trở thành 2t2 – 3t + 1 = 0

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 2 Trang 36 Sgk Dai So 11 2 (thỏa mãn điều kiện).

+ t = 1 ⇒ cos x = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 2 Trang 36 Sgk Dai So 11 3

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 2 Trang 36 Sgk Dai So 11 4 (k ∈ Z).

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 2 Trang 36 Sgk Dai So 11 5

Vậy phương trình có tập nghiệm

Giải bài 2 trang 36 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 2 Trang 36 Sgk Dai So 11 6 (k ∈ Z)

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 21

Lời giải:

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 22

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 23 (Phương trình bậc hai với ẩn Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 24 ).

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 25

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k.π (k ∈ Z)

b. 8cos2x + 2sinx – 7 = 0 (1)

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (Phương trình bậc hai với ẩn sin x)

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 26

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 27 + k2π; Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 28 + k2π; arcsinGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 29 + k2π; π – arcsinGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 30 + k2π (k ∈ Z).

c. Điều kiện: Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 31

2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (Phương trình bậc 2 với ẩn tan x).

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 32

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 33 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 34 + kπ; arctanGiải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 35 + kπ} (k ∈ Z)

d. Điều kiện Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 36

tanx – 2.cotx + 1 = 0

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 37

Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 38 (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm {Giải bài 3 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 3 Trang 37 Sgk Dai So 11 39 + kπ; arctan(-2) + kπ} (k ∈ Z)

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. 2sin2 x + ncvanhoa.org.vn – 3cos2 x = 0

Tham khảo: 300 STT tạm biệt năm cũ, stt đón đêm giao thừa &quotChất hơn nước cất&quot

b. 3sin2 x – 4 ncvanhoa.org.vn + 5 cos2 x =2

c. sin2 x + sin2x – 2 cos2 x = 1/2

d. 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

Lời giải:

a) 2sin2x + ncvanhoa.org.vn – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 11

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 12 (k ∈ Z)

b) 3sin2x – ncvanhoa.org.vn + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – ncvanhoa.org.vn + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – ncvanhoa.org.vn + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 0.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 13

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 14 (k ∈ Z)

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 15

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 16

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 17 (k ∈ Z)

Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 18

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 4 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 4 Trang 37 Sgk Dai So 11 5 19 (k ∈ Z)

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 11

Lời giải:

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 12

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 13 (k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 14

Ta có: Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 15 nên tồn tại α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 16

(1) trở thành: cos α.sin3x – sin α.cos 3x = 1

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 17

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 18 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 19

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 20

Vậy phương trình có tập nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 21 (k ∈ Z)

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 22

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 23 nên tồn tại α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 24

(*) ⇔ cos α.cos 2x + sin α. sin 2x = 1

Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 25

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 26 (k ∈ Z)

với α thỏa mãn Giải bài 5 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 5 Trang 37 Sgk Dai So 11 27

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. tan(2x + 1).tan(3x – 1) = 1

b. tanx + tan (x+π/4) = 1

Lời giải:

a. Điều kiện: Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 6 Trang 37 Sgk Dai So 11 11

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 6 Trang 37 Sgk Dai So 11 12

Vậy phương trình có họ nghiệm Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 6 Trang 37 Sgk Dai So 11 13 (k ∈ Z).

b. Điều kiện:

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 6 Trang 37 Sgk Dai So 11 14

⇔ tan x.(1 – tanx) + tanx + 1 = 1 – tan x.

⇔ tan x – tan2x + 2.tan x = 0

⇔ tan2x – 3tanx = 0

⇔ tanx(tanx – 3) = 0

Giải bài 6 trang 37 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 Bai 6 Trang 37 Sgk Dai So 11 15

Vậy phương trình có tập nghiệm {kπ; arctan3 + kπ} (k ∈ Z)

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.