Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất

Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.

Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất

1. Bất phương trình bậc hai

– Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0

(hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a,b,c là những số thực đã cho, a≠0.

* Ví dụ: x2 – 2 >0; 2×2 +3x – 5 <0;

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

2. Dấu của tam thức bậc hai

Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất (ảnh 2)

Nhận xét:

Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất (ảnh 3)

* Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 – 4ac.

– Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R.

– Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.

– Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).

3. Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Tìm nghiệm của tam thức

– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

4. Giải bất phương trình bậc 2

– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).

READ Top 13 Bài Văn Cảm Nhận Và Phân Tích Bài Thơ Thu điếu Của Nguyễn Khuyến Hay Nhất

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

5. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng 0.

– Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.

Dạng 2: Giải bất phương trình tích.

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

– Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp:

– Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.

– Bước 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.

Chú ý: Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng

Phương pháp:

Sử dụng một số tính chất:

– Nếu Δ<0 thì tam thức bậc hai cùng dấu với aa.

– Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.

Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai

Phương pháp:

– Bước 1: Giải từng bất phương trình có trong hệ.

READ [CHUẨN NHẤT] Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

– Bước 2: Kết hợp nghiệm và kết luận.

6. Bài tập tham khảo có hướng dẫn

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 – 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 – 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn

Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất (ảnh 4)

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 – 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

– Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

– Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

– Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

m > √2 và -2 < m < -√2

Vậy với |m| < √2 thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x – mx < 4 ⇔ (m2 – m)x < 1; m2 – m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất (ảnh 5)

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m – 1)x – 5 < 0

READ Cách biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất (ảnh 6)

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; √6 – 1)

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.