Hình học 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

Hình học 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng

2.1. Tích có hướng giữa hai Vectơ

a) Biểu thức tọa độ tích có hướng

Cho hai vectơ (vec{a}=(x_1;y_1;z_1)) và (vec{b}=(x_2;y_2;z_2)), vectơ (overrightarrow n = left[ {overrightarrow a ;overrightarrow b } right]) được gọi là tích có hướng của hai vectơ (overrightarrow a) và (overrightarrow b) được xác định như sau:

(left[ {vec a,vec b} right] = left( {left| {begin{array}{*{20}{c}} {{y_1};{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {z_1}}\ {{y_2};{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {z_2}} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} {{z_1};{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {x_1}}\ {{z_2};{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {x_2}} end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} {{x_1};{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {y_1}}\ {{x_2};{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} ;{mkern 1mu} {y_2}} end{array}} right|} right) = ({y_1}{z_2} – {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} – {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}))

Xem thêm: Công thức phương trình mặt phẳng

b) Tính chất

Vectơ (overrightarrow n) vuông góc với cả hai vectơ (overrightarrow a) và (overrightarrow b.)

c) Ứng dụng của tích có hướng

  • Chứng minh tính đồng phẳng của vectơ:
    • (vec{a},vec{b},vec{c}) không đồng phẳng khi và chỉ khi (left [ vec{a},vec{b} right ].vec{c}neq 0.) Suy ra 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi (left [ overrightarrow{AB},overrightarrow{AC} right ].overrightarrow{AD}neq 0).
    • (vec{a},vec{b},vec{c}) đồng phẳng khi và chỉ khi (left [ vec{a},vec{b} right ].vec{c}= 0). Suy ra A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi (left [ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right ].overrightarrow{AD}=0).
  • Tính diện tích tam giác và hình bình hành:
    • Diện tích hình bình hành ABCD: (S_{ABCD}=left | left [ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right ] right |).
    • Diện tích tam giác (Delta ABC): (S_{Delta ABC}=frac{1}{2}left | left [ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right ] right |).

2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P). Nếu vectơ (vec n) khác (vec 0) có giá vuông góc với (P) thì (vec n) được gọi là Vectơ pháp tuyến của của (P).

b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: (Ax+By+Cz+D=0, ,, A^2+B^2+C^2neq 0)). Với (overrightarrow{n}=(A;B;C)) là Vectơ pháp tuyến (VTPT).

c) Viết phương trình mặt phẳng khi biết Vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc mặt phẳng đó

Mặt phẳng (P) đi qua điểm ({{M_0}({x_0};{y_0};{z_0})}), nhận vectơ ({vec n = (A;B;C)}) làm VTPT có phương trình tổng quát là:

(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)

d) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Đọc thêm: Caption Facebook Hay 2022 ❤️ Top Cap FB Hay Triệu Like

Mặt phẳng (P) đi qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình tổng quát là: (frac{x}{a}+frac{y}{b}+frac{z}{c}=1).

e) Một số cách xác định Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

  • Gọi (vec n) là VTPT của mặt phẳng (P), giải sử tồn tại (vec u_1) và (vec u_2) sao cho (left.begin{matrix} vec{n}perp overrightarrow{u_1}\ vec{n}perp overrightarrow{u_2} end{matrix}right}) thì (vec{n}=left [ overrightarrow{u_1}; overrightarrow{u_2} right ]) là một VTPT của mặt phẳng (P).
  • Mặt phẳng (ABC) có một VTPT (vec{n}=left [ overrightarrow{AB};overrightarrow{AC} right ]).

  • Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q):
    • ​Gọi: (overrightarrow{n}_P) là một VTPT của (P), (overrightarrow{n}_Q) là một VTPT của (Q) khi đó: (overrightarrow{n}_P=overrightarrow{n}_Q.)

  • Cho đường thẳng AB và mặt phẳng (P): (bigg lbrack begin{matrix} ABsubset (P)\ AB //(P) end{matrix}) thì (vec{n_P}perp overrightarrow{AB}.)
  • Nếu ((P)perp (Q)) thì (overrightarrow{n}_Pperp overrightarrow{n}_Q).

2.3. Vị trí tương đối giữa các mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ((alpha _1) A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0) có một VTPT (vec{n_1}=(A_1;B_1;C_1)) và ((alpha _2) A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0) có một VTPT (vec{n_2}=(A_2;B_2;C_2)).

Khi đó vị trí tương đối giữa ((alpha_1)) và ((alpha_2)) được xác định như sau:

  • ((alpha _1)//(alpha _2)) khi và chỉ khi (left{begin{matrix} vec{n_1}=k.vec{n_2}\ D_1neq D_2 end{matrix}right.).

Nếu (A_2, B_2, C_2, D_2 neq 0): ((alpha _1)//(alpha _2)Leftrightarrow frac{A_1}{A_2}=frac{B_1}{B_2}=frac{C_1}{C_2}neq frac{D_1}{D_2}).

  • ((alpha _1)equiv (alpha _2)) khi và chỉ khi (left{begin{matrix} vec{n_1}=k.vec{n_2}\ D_1=k. D_2 end{matrix}right.).

Tham khảo: [TOP] 101stt hay khi đăng ảnh buồn,tâm trạng lên mạng xã hội

Nếu (A_2, B_2, C_2, D_2 neq 0) thì ((alpha _1)equiv (alpha _2)Leftrightarrow frac{A_1}{A_2}=frac{B_1}{B_2}=frac{C_1}{C_2}= frac{D_1}{D_2}).

  • ((alpha _1),(alpha _2)) cắt nhau khi và chỉ khi (vec{n_1}neq k.vec{n_2}).

​Nếu (A_2,B_2,C_2neq 0) thì ((alpha _1),(alpha _2)) cắt nhau (Leftrightarrow Bigg lbrackbegin{matrix} frac{A_1}{A_2} neq frac{B_1}{B_2}\ frac{A_1}{A_2} neq frac{C_1}{C_2}\ frac{B_1}{B_2} neq frac{C_1}{C_2} end{matrix}).

2.4. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P): (Ax+By+Cz+D=0 (A^2+B^2+C^2neq 0)) và điểm (M(x_0,y_0,z_0)). Khoảng cách từ M đến (P) được xác định bởi công thức: (d(M;(P))=frac{left | Ax_0+Ay_0+Az_0+D right |}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}).

2.5. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ((P);{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0) và ((Q);{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0) có VTPT lần lượt là:

(vec{n}_P=(A_1;B_1;C_1)) và (vec{n}_Q=(A_2;B_2;C_2)), khi đó:

​(coswidehat {(P,Q)} = left| {cos({{vec n}_P};{{vec n}_Q})} right| = frac{{left| {{{vec n}_P}.{{vec n}_Q}} right|}}{{left| {{{vec n}_P}} right|left| {{{vec n}_Q}} right|}})(=frac{left | A_1B_2+B_1B_2+C_1C_2 right |}{sqrt{A^2_1+B_1^2+C^2_1} .sqrt{A^2_2+B_2^2+C^2_2}})

Chú ý:

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

  • (0^0leq (widehat{P,Q})leq 90^0).
  • ((P)perp (Q)Leftrightarrow vec{n}_P.vec{n}_Q)(Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0).

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.