Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản

A. Lí thuyết cơ bản

1. Phương trình sin x=a (1)

displaystyle sin x=1Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+k2pi ,,kin mathbb{Z}

displaystyle sin x=-1Leftrightarrow x=-frac{pi }{2}+k2pi ,,kin mathbb{Z}sin x=0Leftrightarrow x=kpi ,,(kin mathbb{Z})

  • Chú ý:
    • + Tổng quát: sin f(x)=sin g(x) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2pi \f(x)=pi -g(x)+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})
    • + sin x=aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x=arcsin a+k2pi \x=pi -arcsin a+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

2. Phương trình cos x=a (2)

  • + |a|,>1: Phương trình (1) vô nghiệm.
  • + |a|,le 1: Gọi alpha là một cung sao cho cos x=cos alpha. Khi đó

    (2)Leftrightarrow cos x=cos alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=alpha +k2pi \x=-alpha +k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).

    Phương trình cos x=cos {{beta }^{0}}Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x={{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}\x=-{{beta }^{0}}+k{{360}^{0}}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

  • Các trường hợp đặc biệt:

displaystyle cos x=1Leftrightarrow x=k2pi ,,kin mathbb{Z}.

displaystyle cos x=-1Leftrightarrow x=pi +k2pi ,,kin mathbb{Z}.cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).

  • Chú ý:
    • + Tổng quát: cos f(x)=cos g(x)Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x)=g(x)+k2pi \f(x)=-g(x)+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z})
    • + cos x=aLeftrightarrow left[ begin{array}{l}x=arccos a+k2pi \x=-arccos a+k2pi end{array} right.(kin mathbb{Z}).
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

3. Phương trình tan x=a (3)

  • + TXĐ: D=mathbb{R}backslash left{ frac{pi }{2}+kpi ,kin mathbb{Z} right}.
  • + forall ain mathbb{R}, tồn tại cung alpha sao cho tan alpha =a. Khi đó:

    (3)Leftrightarrow tan x=tan alpha Leftrightarrow x=alpha +kpi ,,kin mathbb{Z}.

  • + Phương trình tan x=tan {{beta }^{0}}Leftrightarrow x={{beta }^{0}}+k{{180}^{0}},,kin mathbb{Z}.
  • Chú ý:
    • + Tổng quát: tan f(x)=tan g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi ,(kin mathbb{Z}).
    • + tan x=aLeftrightarrow x=arctan a+kpi ,(kin mathbb{Z}).
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

4. Phương trình cot x=a (4)

  • + TXĐ: D=mathbb{R}backslash left{ kpi ,kin mathbb{Z} right}.
  • + forall ain mathbb{R}, tồn tại cung alpha sao cho cot alpha =a. Khi đó:

    (4)Leftrightarrow cot x=cot alpha Leftrightarrow x=alpha +kpi ,,kin mathbb{Z}.

  • + Phương trình cot x=cot {{beta }^{0}}Leftrightarrow x={{beta }^{0}}+k{{180}^{0}},,kin mathbb{Z}.
  • Chú ý:
    • + Tổng quát: cot f(x)=cot g(x)Leftrightarrow f(x)=g(x)+kpi ,(kin mathbb{Z}).
    • + cot x=a⇔x=arccota+kπ, (k∈ℤ)
    • + Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác không được dùng đồng thời cả hai đơn vị độ và radian.

B. Bài tập

1. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình sin left( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right)=0.

A. x=kpi ,,(kin mathbb{Z}). B. x=frac{2pi }{3}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z}).

C. x=frac{pi }{3}+kpi ,,(kin mathbb{Z}). D. x=frac{pi }{2}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z}).

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

Phương trình sin left( frac{2x}{3}-frac{pi }{3} right)=0Leftrightarrow frac{2x}{3}-frac{pi }{3}=kpi

Leftrightarrow frac{2x}{3}=frac{pi }{3}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+frac{k3pi }{2},,(kin mathbb{Z}).

Chọn D.

Ví dụ 2: Giải phương trình cot (3x-1)=-sqrt{3}.

A. x=frac{1}{3}+frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}). B. x=frac{1}{3}+frac{pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}).

C. x=frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}). D. x=frac{1}{3}-frac{pi }{6}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

Ta có cot (3x-1)=-sqrt{3}Leftrightarrow cot (3x-1)=cot left( -frac{pi }{6} right)

Đọc thêm: TÌM NGHIỆM THUỘC KHOẢNG (ab) CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Leftrightarrow 3x-1=-frac{pi }{6}+kpi

Leftrightarrow x=frac{1}{3}-frac{pi }{18}+kfrac{pi }{3}=frac{1}{3}+frac{5pi }{18}+kfrac{pi }{3}

Chọn A.

Ví dụ 3: Trên (0;pi ) phương trình sin 2x=-frac{1}{2} có bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 2. C. 3. D. Vô số nghiệm.

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

Ta có displaystyle sin 2x=-frac{1}{2}Leftrightarrow sin 2x=sin frac{-pi }{6}

displaystyle Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x=-frac{pi }{6}+k2pi \2x=pi -left( -frac{pi }{6} right)+k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=-frac{pi }{12}+kpi \x=frac{7pi }{12}+k2pi end{array} right..

Trên (0;pi ) ta có:

  • + 0<-frac{pi }{12}+kpi <pi Leftrightarrow frac{1}{12}<k<frac{13}{12} với kin mathbb{Z}Rightarrow k=1Rightarrow x=frac{11pi }{12}.
  • + 0<frac{7pi }{12}+kpi <pi Leftrightarrow frac{-7}{12}<k<frac{5}{12} với kin mathbb{Z}Rightarrow k=0Rightarrow x=frac{7pi }{12}.

Vậy phương trình có hai nghiệm trên (0;pi ). Chọn C.

Ví dụ 4: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y=tan left( frac{pi }{4}-x right)y=tan 2x bằng nhau?

A. x=frac{pi }{4}+kfrac{pi }{2},,(kin mathbb{Z}). B. x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z}).

C. x=frac{pi }{12}+kpi ,,(kin mathbb{Z}). D. x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z}),.

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

Điều kiện: left{ begin{array}{l}cos left( frac{pi }{4}-x right)ne 0\cos 2xne 0end{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}xne -frac{pi }{4}+mpi \xne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2}end{array} right.Leftrightarrow xne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2},,(min mathbb{Z})

Xét phương trình tan left( frac{pi }{4}-x right)=tan 2x

Leftrightarrow 2x=frac{pi }{4}-x+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},,(kin mathbb{Z})

Kết hợp với điều kiện ta có frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3}ne frac{pi }{4}+mfrac{pi }{2} Leftrightarrow kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z})

Vậy phương trình có nghiệm x=frac{pi }{12}+kfrac{pi }{3},kne frac{3m+1}{2},(k,min mathbb{Z}),.

Chọn D.

Ví dụ 5: Giải phương trình sin (2x+1)+cos (3x-1)=0.

A. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}). B. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

C. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+3+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}). D. left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+6+k2pi \x=frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right.(kin mathbb{Z}).

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

Phương trình displaystyle Leftrightarrow cos (3x-1)=-sin (2x+1)

displaystyle Leftrightarrow cos (3x-1)=cos left( frac{pi }{2}+2x+1 right)

Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3x-1=frac{pi }{2}+2x+1+k2pi \3x-1=-frac{pi }{2}-2x-1+k2pi end{array} right.Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x=frac{pi }{2}+2+k2pi \x=-frac{pi }{10}+kfrac{2pi }{5}end{array} right..

Chọn B.

Ví dụ 6: Gọi {{x}_{0}} là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình frac{2cos 2x}{1-sin 2x}=0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. {{x}_{0}}in left( 0;frac{pi }{4} right). B. displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{pi }{4};frac{pi }{2} right). C. displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{pi }{2};frac{3pi }{4} right). D. displaystyle {{x}_{0}}in left( frac{3pi }{4};pi right).

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

Điều kiện: 1-sin 2xne 0Leftrightarrow sin 2xne 1.

Phương trình displaystyle frac{2cos 2x}{1-sin 2x}=0

displaystyle Leftrightarrow cos 2x=0Rightarrow left[ begin{array}{l}sin 2x=1,,,,,(L)\sin 2x=-1,,(TM)end{array} right.

Leftrightarrow sin 2x=-1Leftrightarrow 2x=-frac{pi }{2}+k2pi.

Leftrightarrow x=-frac{pi }{4}+kpi ,,(kin mathbb{Z})

Ta có -frac{pi }{4}+kpi >0Leftrightarrow kpi >frac{pi }{4}Leftrightarrow k>frac{1}{4}.

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k=1Rightarrow x=frac{3pi }{4}in left[ frac{3pi }{4};pi right].

Chọn D.

Ví dụ 7: Số nghiệm của phương trình left( sqrt{1-x}+sqrt{1+x} right)cos x=0

A. 1 nghiệm. B. 2 nghiệm. C. Vô nghiệm. D. Vô số nghiệm.

Đọc thêm: Gửi Tặng Đến Người Ấy Những Dòng Stt Yêu Thương Ngọt Ngào Nhất

Lời giải:

TXĐ: D=text{ }!![!!text{ -1;1 }!!]!!text{ }.

Phương trình Leftrightarrow cos x=0Leftrightarrow x=frac{pi }{2}+kpi ,,(kin mathbb{Z}).

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.

Chọn C.

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.