Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức.

Xem thêm: Cách giải hệ phương trình 3 ẩn bằng định thức

Ví dụ 1:

Giải các hệ phương trình sau:

a) (left{ begin{array}{l}5x – 4y = 3\7x – 9y = 8end{array} right.)

b) (left{ begin{array}{l}2x + y = 11\5x – 4y = 8end{array} right.)

Hướng dẫn:

a) Ta có (D = left| {begin{array}{*{20}{c}}5&{ – 4}\7&{ – 9}end{array}} right| = – 17), ({D_x} = left| {begin{array}{*{20}{c}}3&{ – 4}\8&{ – 9}end{array}} right| = 5,,,{D_y} = left| {begin{array}{*{20}{c}}5&3\7&8end{array}} right| = 19)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là (left( {x;y} right) = left( {frac{{{D_x}}}{D};frac{{{D_y}}}{D}} right) = left( { – frac{5}{{17}}; – frac{{19}}{{17}}} right))

b) Ta có (D = left| {begin{array}{*{20}{c}}2&1\5&{ – 4}end{array}} right| = – 13), ({D_x} = left| {begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\8&{ – 4}end{array}} right| = – 52,,,{D_y} = left| {begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\5&8end{array}} right| = – 39)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là (left( {x;y} right) = left( {frac{{{D_x}}}{D};frac{{{D_y}}}{D}} right) = left( {4;3} right))

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

a) (left{ begin{array}{l}(x + 3)y – 5) = xy\(x – 2)(y + 5) = xyend{array} right.)

b) (left{ begin{array}{l}left| {x – y} right| = sqrt 2 \2x – y = – 1end{array} right.)

c) (left{ begin{array}{l}frac{{3(x + y)}}{{x – y}} = – 7\frac{{5x – y}}{{y – x}} = frac{5}{3}end{array} right.)

Hướng dẫn:

Tham khảo: STT Thành Công, Danh Ngôn & 101 Câu Nói Hay Về Sự Thành Công Hay

a) Hệ phương trình tương đương với (left{ begin{array}{l}xy – 5x + 3y – 15 = xy\xy + 5x – 2y – 10 = xyend{array} right.)

( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{ – 5x + 3y = 15}\{5x – 2y = 10}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\{5x – 2y = 10}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\{y = 25}end{array}} right.)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (left( {x;y} right) = left( {12;25} right))

b) Hệ phương trình tương đương với(left{ begin{array}{l}x – y = pm sqrt 2 \2x – y = – 1end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x – y = sqrt 2 \2x – y = – 1end{array} right.) (1) hoặc (left{ begin{array}{l}x – y = – sqrt 2 \2x – y = – 1end{array} right.) (2)

Ta có (left( 1 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = – 1 – sqrt 2 \2x – y = – 1end{array} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – sqrt 2 }\{y = – 1 – 2sqrt 2 }end{array}} right.)

(left( 2 right) Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = – 1 + sqrt 2 \2x – y = – 1end{array} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1 – sqrt 2 }\{y = – 1 + 2sqrt 2 }end{array}} right.)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (left( {x;y} right)) là (left( { – 1 – sqrt 2 ; – 1 – 2sqrt 2 } right)) và (left( { – 1 – sqrt 2 ; – 1 + 2sqrt 2 } right))

c) ĐKXĐ: (x ne y)

Hệ phương trình tương đương với (left{ begin{array}{l}3(x + y) = – 7left( {x – y} right)\3left( {5x – y} right) = 5left( {y – x} right)end{array} right.)

( Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{10x – 4y = 0}\{20x – 8y = 0}end{array}} right. Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\{y = 0}end{array}} right.) (không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Tham khảo: Cập nhật 202 stt hay về gia đình hạnh phúc, tan vỡ ý nghĩa nhất

Sử dụng định thức: Tính (D,,{D_x},,{D_y})

( bullet ) Nếu (D ne 0) thì hệ có nghiệm duy nhất (left( {x;y} right) = left( {frac{{{D_x}}}{D};frac{{{D_y}}}{D}} right))

( bullet ) Nếu (D = 0) thì ta xét ({D_x},,{D_y})

Với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} ne 0}\{{D_y} ne 0}end{array}} right.) khi đó phương trình vô nghiệm

Với ({D_x} = {D_y} = 0) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:(left{ begin{array}{l}mx – y = 2m\4x – my = m + 6end{array} right.)

Hướng dẫn:

Ta có (D = left| {begin{array}{*{20}{c}}m&{ – 1}\4&{ – m}end{array}} right| = 4 – {m^2} = left( {2 – m} right)left( {2 + m} right))

({D_x} = left| {begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ – 1}\{m + 6}&{ – m}end{array}} right| = – 2{m^2} + m + 6 = left( {2 – m} right)left( {2m + 3} right)) ({D_y} = left| {begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\4&{m + 6}end{array}} right| = {m^2} – 2m = mleft( {m – 2} right))

  • Với ({rm{D}} ne 0 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{m ne 2}\{m ne – 2}end{array}} right.): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (left( {x;y} right) = left( {frac{{{D_x}}}{D};frac{{{D_y}}}{D}} right) = left( {frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – frac{m}{{2m + 1}}} right))
  • Với ({rm{D = }}0 Leftrightarrow m = pm 2):

+ Khi (m = 2) ta có ({rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình (2x – y = 4 Leftrightarrow y = 2x – 4). Do đó hệ phương trình có nghiệm là (left( {x;y} right) = left( {t;2t – 4} right),,,t in R).

+ Khi (m = – 2) ta có (D = 0,,{D_x} ne 0) nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

(m ne 2) và (m ne – 2) hệ phương trình có nghiệm duy nhất(left( {x;y} right) = left( {frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; – frac{m}{{2m + 1}}} right))

(m = 2)hệ phương trình có nghiệm là (left( {x;y} right) = left( {t;2t – 4} right),,,t in R).

(m = – 2) hệ phương trình vô nghiệm

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.