DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (ax + b < 0)
Ví dụ:
Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:
a) (mx + 6 le 2x + 3m)
b) (left( {x + m} right)m + x > 3x + 4)
c) (left( {{m^2} + 9} right)x + 3 ge mleft( {1 – 6x} right))
Hướng dẫn:
a) Bất phương trình tương đương với (left( {m – 2} right)x < 3m – 6)
Với (m = 2) bất phương trình trở thành (0x le 0)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
Với (m > 2) bât phương trình tương đương với (x < frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3)
Với (m < 2) bât phương trình tương đương với (x > frac{{3m – 6}}{{m – 2}} = 3)
Kết luận
(m = 2) bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x)(có tập nghiệm là (S = mathbb{R})).
(m > 2) bât phương trình có nghiệm là (x < 3)(có tập nghiệm là (S = left( { – infty ;3} right)))
(m < 2) bât phương trình có nghiệm là (x > 3)(có tập nghiệm là (S = left( {3; + infty } right)))
b) Bất phương trình tương đương với (left( {m – 2} right)x > 4 – {m^2})
Với (m = 2) bất phương trình trở thành (0x > 0)suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với (m > 2) bât phương trình tương đương với (x > frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} = – m – 2)
Với (m < 2) bât phương trình tương đương với (x < frac{{4 – {m^2}}}{{m – 2}} = – m – 2)
Kết luận
(m = 2) bất phương trình vô nghiệm
(m > 2) bât phương trình có nghiệm là (x > – m – 2)
(m < 2) bât phương trình có nghiệm là (x < – m – 2)
c) Bất phương trình tương đương với ({left( {m + 3} right)^2}x ge m – 3)
Với (m = – 3) bất phương trình trở thành (0x ge – 6)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
Với (m ne – 3) bât phương trình tương đương với (x ge frac{{m – 3}}{{{{left( {m + 3} right)}^2}}})
Kết luận
(m = – 3) bất phương trình nghiệm đúng với mọi (x).
(m ne – 3) bât phương trình có nghiệm là (x ge frac{{m – 3}}{{{{left( {m + 3} right)}^2}}}).
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Ví dụ 1:
Giải các hệ bất phương trình sau:
a) (left{ begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 5\5x – 4 < x + 2end{array} right.)
b) (left{ begin{array}{l}6x + frac{5}{7} < 4x + 7\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5end{array} right.)
c) (left{ begin{array}{l}x – 1 le 2x – 3\3x < x + 5\frac{{5 – 3x}}{2} le x – 3end{array} right.)
Hướng dẫn:
a) Hệ bất phương trình tương đương với
(left{ begin{array}{l}5x – 2 > 4x + 5\5x – 4 < x + 2end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 7\x < frac{3}{2}end{array} right.)
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với
(left{ begin{array}{l}6x + frac{5}{7} < 4x + 7\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x < frac{{22}}{7}\x < frac{7}{4}end{array} right. Leftrightarrow x < frac{7}{4})
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là (x < frac{7}{4})
d) Hệ bất phương trình tương đương với (left{ begin{array}{l}x ge 2\x < frac{5}{2}\x ge frac{{11}}{5}end{array} right. Leftrightarrow frac{{11}}{5} le x le frac{5}{2})
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là (frac{{11}}{5} le x le frac{5}{2}).
Ví dụ 2:
Tìm (m) để hệ bất phương trình (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{mleft( {mx – 1} right) < 2}\{mleft( {mx – 2} right) ge 2m + 1}end{array}} right.) có nghiệm.
Hướng dẫn:
Hệ bất phương trình tương đương với (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\{{m^2}x ge 4m + 1}end{array}} right.)
Với (m = 0) ta có hệ bất phương trình trở thành (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\{0x ge 1}end{array}} right.) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm
Với (m ne 0) ta có hệ bất phương trình tương đương với (left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x < frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\{x ge frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}end{array}} right.)
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} Leftrightarrow m < frac{1}{3})
Vậy (m < frac{1}{3}) là giá trị cần tìm.
DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
Ví dụ:
Cho bất phương trình (sqrt {x – 1} (x – 2m + 2) ge 0)
a) Giải bất phương trình khi (m = 2)
b) Tìm (m) để mọi (x in left[ {2;3} right]) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Hướng dẫn:
a) Khi (m = 2) bất phương trình trở thành (sqrt {x – 1} (x – 2) ge 0)
Bất phương trình tương đương với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{sqrt {x – 1} = 0}\{left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0\x – 2 ge 0end{array} right.}end{array}} right.)
( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{left{ {begin{array}{*{20}{c}}{x ge 1}\{x ge 2}end{array}} right.}end{array}} right. Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 2}end{array}} right.)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là ({rm{S}} = left{ 1 right} cup {rm{[}}2; + infty )).
b) Bất phương trình tương đương với (left[ {begin{array}{*{20}{c}}{sqrt {x – 1} = 0}\{left{ begin{array}{l}x – 1 ge 0\x – 2m + 2 ge 0end{array} right.}end{array}} right.)( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{left{ begin{array}{l}x ge 1\x ge 2m – 2end{array} right.}end{array}} right.)
+ TH1: (2m – 2 > 1 Leftrightarrow m > frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 2m – 2}end{array}} right.)
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là (S = left{ 1 right} cup [2m – 2; + infty )).
Do đó mọi (x in left[ {2;3} right]) đều là nghiệm của bất phương trình (*)
( Leftrightarrow left[ {2;3} right] subset S Leftrightarrow 2m – 2 le 2 Leftrightarrow m le 2)
Suy ra (frac{3}{2} < m le 2) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH2: (2m – 2 = 1 Leftrightarrow m = frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 1}end{array} Leftrightarrow x ge 1} right.)
Suy ra (m = frac{3}{2}) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3: (2m – 2 < 1 Leftrightarrow m < frac{3}{2}): Ta có bất phương trình( Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\{x ge 1}end{array} Leftrightarrow x ge 1} right.)
Suy ra (m < frac{3}{2})thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là (m le 2).