Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án lời giải - Giải tích 11 bài 2

Bài này sẽ áp dụng các kiến thức đã học đó để giải một số bài tập phương trình lượng giác cơ bản của sin, cos, tan và cot.

• Lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản và cách giải

* Bài 1 trang 28 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) $gif.latex?small&space;sin(x+2)=frac{1}{3}$

b) sin3x = 1;

c) $gif.latex?small&space;sin(frac{2x}{3}-frac{pi&space;}{3})=0$

d) $gif.latex?small&space;sin(2x+20^0)=frac{-sqrt{3}}{2}$

> Lời giải:

a) $gif.latex?small&space;sin(x+2)=frac{1}{3}$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x+2=arcsinfrac{1}{3}+k2pi\&space;x+2=pi-arcsinfrac{1}{3}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:(&space;kin&space;mathbb{Z})$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=arcsinleft&space;(frac{1}{3}&space;right&space;)-2+k2pi\&space;x=pi-arcsinleft&space;(frac{1}{3}&space;right&space;)-2+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:(&space;kin&space;mathbb{Z})$

b) sin3x = 1;

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;sin3x=sinleft&space;(&space;frac{pi}{2}&space;right&space;)$ $gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;3x=&space;frac{pi}{2}&space;+k2pi$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x=frac{pi}{6}&space;+frac{k2pi}{3}:&space;(k&space;in&space;mathbb{Z})$

c) $gif.latex?small&space;sin(frac{2x}{3}-frac{pi&space;}{3})=0$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;sin(frac{2x}{3}-frac{pi&space;}{3})=sin0&space;Leftrightarrow&space;frac{2x}{3}-frac{pi&space;}{3}=kpi$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;frac{2x}{3}=frac{pi&space;}{3}+kpi&space;Leftrightarrow&space;x=frac{pi}{2}+frac{3kpi}{2}:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

d) $gif.latex?small&space;sin(2x+20^0)=frac{-sqrt{3}}{2}$

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;sin(2x+20^0)=sin(-60^0)

$gif.latex?small&space;Leftrightarrowleft&space;[begin{matrix}&space;2x+20^0=-60^0+k360^0\&space;2x+20^0=180^0+60^0+k360^0&space;end{matrix}right.$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrowleft&space;[begin{matrix}&space;2x=-80^0+k360^0\&space;2x=220^0+k360^0&space;end{matrix}right.$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrowleft&space;[begin{matrix}&space;x=-40^0+k180^0\&space;x=110^0+k180^0&space;end{matrix}right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

* Bài 2 trang 28 SGK Giải tích 11: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau?

> Lời giải:

– Thực chất đây là bài toán giải phương trình lượng giác: sin3x = sinx

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;3x=x+k2pi\&space;3x=pi-x+k2pi&space;end{matrix}&space;right.&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;2x=+k2pi\&space;4x=pi+k2pi&space;end{matrix}&space;right.&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=kpi\&space;x=frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}&space;end{matrix}&space;right.&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Vây với $gif.latex?small&space;xin&space;left&space;{&space;kpi;frac{pi}{4}&space;+frac{kpi}{2}right&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})$ thì sin3x = sinx.

* Bài 3 trang 28 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$gif.latex?small&space;a):&space;cos(x-1)=frac{2}{3};$

gif.latex?small&space;b):&space;cos3x=cos12^0;

$gif.latex?small&space;c):&space;cos(frac{3x}{2}-frac{pi}{4})=-frac{1}{2};$

$gif.latex?small&space;d):&space;cos^22x=frac{1}{4};$

> Lời giải:

$gif.latex?small&space;a):&space;cos(x-1)=frac{2}{3}$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x-1=pm&space;arccosleft&space;(&space;frac{2}{3}&space;right&space;)+k2pi$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x=1&space;pm&space;arccosleft&space;(&space;frac{2}{3}&space;right&space;)+k2pi,:&space;kin&space;mathbb{Z}$

Vậy phương trình có họ nghiệm $gif.latex?small&space;x=1&space;pm&space;arccosleft&space;(&space;frac{2}{3}&space;right&space;)+k2pi,:&space;kin&space;mathbb{Z}$

gif.latex?small&space;b):&space;cos3x=cos12^0

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º, k ∈ Z.

$gif.latex?small&space;c):&space;cos(frac{3x}{2}-frac{pi}{4})=-frac{1}{2}$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosleft&space;(&space;frac{3x}{2}-frac{pi}{4}&space;right&space;)=cosleft&space;(&space;frac{2pi}{3}&space;right&space;)$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;frac{3x}{2}-frac{pi&space;}{4}=frac{2pi}{3}+k2pi\&space;\&space;frac{3x}{2}-frac{pi&space;}{4}=frac{-2pi}{3}+k2pi&space;end{matrix}right.$ $gif.latex?Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;frac{3x}{2}=frac{11pi}{12}+k2pi\&space;\&space;frac{3x}{2}=frac{-5pi}{12}+k2pi&space;end{matrix}right.$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{11pi}{18}+frac{4kpi}{3}\&space;\&space;x=frac{-5pi}{18}+frac{4kpi}{3}&space;end{matrix}right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $gif.latex?small&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{11pi}{18}+frac{4kpi}{3}\&space;\&space;x=frac{-5pi}{18}+frac{4kpi}{3}&space;end{matrix}right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

* Bài 4 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải phương trình: $gif.latex?small&space;frac{2cos2x}{1-sin2x}=0$

> Lời giải:

– Hàm chưa biến ở mẫu, nên cần tìm điều kiện xác định trước:

– Điều kiện: 1 – sin2x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 1.

– Ta có: $gif.latex?frac{cos2x}{1-sin2x}=0$

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2cos2x=0

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cos2x=cosleft&space;(&space;frac{pi}{2}&space;right&space;)$ $gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2x=frac{pi}{2}+kpi:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x=frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Vì cần đối chiếu điều kiện, nên đến đây ta vẫn phải làm tiếp.

– Trường hợp k lẻ, tức: k = 2n + 1 (n∈Z)

$gif.latex?small&space;Rightarrow&space;x=frac{pi}{4}+(2n+1).frac{pi}{2}=frac{3pi}{4}+npi$

$gif.latex?small&space;Rightarrow&space;sin2x=sinleft&space;(&space;frac{3pi}{2}+2npi&space;right&space;)=-1,:&space;forall&space;n:$

Thỏa điều kiện sin2x ≠ 1 nên nhận.

– Trường hợp k chẵn, tức: k = 2n (n∈Z)

$gif.latex?small&space;Rightarrow&space;x=frac{pi}{4}+npi$

$gif.latex?small&space;Rightarrow&space;sin2x=sinleft&space;(&space;frac{pi}{2}+2npi&space;right&space;)=1,:&space;forall&space;n:$

KHÔNG thỏa điều kiện sin2x ≠ 1 nên loại.

Kết luận: Phương trình có họ nghiệm: $gif.latex?small&space;x=frac{3pi}{4}+npi,:&space;(nin&space;mathbb{Z})$

* Bài 5 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$gif.latex?small&space;a):&space;tan(x-15^0)=frac{sqrt{3}}{3}$

gif.latex?small&space;b):&space;cot(3x-1)=-sqrt{3}

gif.latex?small&space;c):&space;cos2x.tanx=0

gif.latex?small&space;d):&space;sin3x.cotx=0

> Lời giải:

$gif.latex?small&space;a):&space;tan(x-15^0)=frac{sqrt{3}}{3}$ (1)

– Điều kiện: x – 15º ≠ 90º + k.180º, ∀ k ∈ Z.

(1) ⇔ tan(x – 150) = tan(300)

⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z

⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).

gif.latex?small&space;b):&space;cot(3x-1)=-sqrt{3} (2)

– Điều kiện: 3x – 1 ≠ kπ, ∀ k ∈ Z.

$gif.latex?small&space;(2)Leftrightarrow&space;cot(3x-1)=cotleft&space;(&space;frac{5pi}{6}&space;right&space;)$ $gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;3x+1=frac{5pi}{6}+kpi$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x=frac{1}{3}+frac{5pi}{18}+frac{kpi}{3},:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có họ nghiệm: $gif.latex?small&space;x=frac{1}{3}+frac{5pi}{18}+frac{kpi}{3},:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

> Lưu ý: Vì $gif.latex?small&space;cotleft&space;(&space;frac{5pi}{6}&space;right&space;)=cotleft&space;(&space;-frac{pi}{6}&space;right&space;)=-sqrt{3}$ nên các bạn có thể sử dụng kết quả nào cũng đúng.

gif.latex?small&space;c):&space;cos2x.tanx=0 (3)

– Điều kiện xác định: $gif.latex?small&space;xneq&space;frac{pi}{2}+kpi$

$gif.latex?small&space;(3)Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;cos2x=0\&space;tanx=0&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;cos2x=cosfrac{pi}{2}\&space;tanx=tan0&space;end{matrix}&space;right.$

$gif.latex?Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;2x=frac{pi}{2}+kpi&space;\&space;x=kpi&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}&space;\&space;x=kpi&space;end{matrix}&space;right.,:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện thấy hai họ nghiệm trên đều thỏa.

Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $gif.latex?small&space;xin&space;left&space;{&space;frac{pi}{4}+frac{kpi}{2};kpi&space;right&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

gif.latex?small&space;d):&space;sin3x.cotx=0 (4)

– Điều kiện xác định: x ≠ kπ, ∀k ∈ Z.

$gif.latex?small&space;(4)Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sin3x=0\&space;cotx=0&space;end{matrix}&space;right.Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sin3x=sin0\&space;cotx=cotleft&space;(&space;frac{pi&space;}{2}&space;right&space;)&space;end{matrix}&space;right.$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;3x=kpi\&space;x=frac{pi}{2}+kpi&space;end{matrix}&space;right.Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{kpi}{3}\&space;x=frac{pi}{2}+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện thì $gif.latex?dpi{100}&space;small&space;x=frac{pi}{2}+kpi$ luôn thỏa.

Nghiệm $gif.latex?dpi{100}&space;small&space;x=frac{kpi}{3}$ thỏa khi k = 3n + 1 và 3n + 2 (có thể lấy 3n – 1) với n ∈ Z.

Vậy phương trình có các họ nghiệm:

$gif.latex?small&space;xin&space;left&space;{&space;frac{pi}{3}+npi;frac{2pi}{3}+npi;frac{pi}{2}+kpi&space;right&space;},:&space;(n,kinmathbb{Z})$

hoặc có thể viết họ nghiệm là: $gif.latex?small&space;xin&space;left&space;{pm&space;frac{pi}{3}+npi;frac{pi}{2}+kpi&space;right&space;},:&space;(n,kinmathbb{Z})$ (n và k có thể lấy giá trị nguyên giống nhau).

* Bài 6 trang 29 SGK Giải tích 11: Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan((π/4) – x) và y = tan2x bằng nhau?

> Lời giải:

– Điều kiện xác định:

$gif.latex?small&space;left{begin{matrix}&space;frac{pi}{4}-x&space;neq&space;frac{pi}{2}+kpi\&space;\&space;2x&space;neq&space;frac{pi}{2}+kpi&space;end{matrix}right.Leftrightarrow&space;left{begin{matrix}&space;x&space;neq&space;-frac{pi}{4}+kpi\&space;\&space;x&space;neq&space;frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}&space;end{matrix}right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;xneq&space;frac{pi}{4}+frac{kpi}{2}:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

– Ta có: $gif.latex?small&space;tanleft&space;(&space;frac{pi&space;}{4}-x&space;right&space;)=tan2x$

$gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2x=frac{pi}{4}-x+kpi$

$gif.latex?small&space;small&space;Leftrightarrow&space;x=frac{pi}{12}+frac{kpi}{3}:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Đối chiếu điều kiện ta suy ra: $gif.latex?left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{12}+kpi\&space;\&space;x&space;=frac{5pi}{12}+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$

Vậy với $gif.latex?left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{12}+kpi\&space;\&space;x&space;=frac{5pi}{12}+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})$ thì $gif.latex?small&space;tanleft&space;(&space;frac{pi&space;}{4}-x&space;right&space;)=tan2x$

* Bài 7 trang 29 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) sin3x – cos5x = 0

b) ncvanhoa.org.vn = 1

Giáo dục

Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án lời giải – Giải tích 11 bài 2

Trả lời Hủy

Về Chúng Tôi

Ý kiến bạn đọc