Bài tập phương trình lượng giác thường gặp, phương trình bậc nhất sinx và cosx – Giải tích 11 bài 3

Bài tập phương trình lượng giác thường gặp, phương trình bậc nhất sinx và cosx – Giải tích 11 bài 3

Dưới đây là phần hướng dẫn giải bài tập một số phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác và phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

• Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải

Xem thêm: Bài tập giải phương trình lượng giác

* Bài 1 trang 36 SGK Giải tích 11: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0

> Lời giải:

– Ta có: sin2x – sinx = 0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;sinx(sinx-1)=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sinx=0\&space;sinx-1=0&space;end{matrix}&space;right.Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sinx=0\&space;sinx=1&space;end{matrix}&space;right.

gif.latex?Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=kpi\&space;x=frac{pi}{2}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

* Bài 2 trang 36 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x + √2.sin4x = 0

> Lời giải:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

– Ta đặt t = cosx, điều kiện -1 ≤ t ≤ 1

(1) ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2

+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

+ Với t=1/2 ⇒ cosx = 1/2

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosx=cosleft&space;(&space;frac{pi}{3}&space;right&space;)

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x=&space;pm&space;frac{pi}{3}+k2pi:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;k2pi;:&space;pm&space;frac{pi}{3}+k2pi&space;right&space;}:&space;:&space;kin&space;mathbb{Z}

b) 2sin2x + √2.sin4x = 0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2sin2x+2sqrt{2}sin2x.cos2x=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2sin2x(1+sqrt{2}cos2x)=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sin2x=0\&space;1+sqrt{2}cos2x=0&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sin2x=0\&space;cos2x=-frac{1}{sqrt{2}}&space;end{matrix}&space;right.

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;2x=kpi\&space;2x=pm&space;frac{3pi}{4}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=kfrac{pi}{2}\&space;x=pm&space;frac{3pi}{8}+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy phương trình có tập nghiệm: gif.latex?small&space;left&space;{&space;kfrac{pi}{2};pm&space;frac{3pi}{8}+kpi&space;right&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

* Bài 3 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

gif.latex?small&space;a):&space;sin^2frac{x}{2}-2cosfrac{x}{2}+2=0

gif.latex?small&space;b):&space;8cos^2x+2sinx-7=0

gif.latex?small&space;c):&space;2tan^2x+3tanx+1=0

gif.latex?small&space;d):&space;tanx-2cotx+1=0

> Lời giải:

gif.latex?small&space;a):&space;sin^2frac{x}{2}-2cosfrac{x}{2}+2=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;(&space;1-cos^2frac{x}{2}&space;right&space;)-2cosfrac{x}{2}+2=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;-cos^2frac{x}{2}-2cosfrac{x}{2}+3=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cos^2frac{x}{2}+2cosfrac{x}{2}-3=0

(phương trình bậc 2 với ẩn gif.latex?dpi{100}&space;small&space;cosfrac{x}{2} hệ số a + b + c =0)

gif.latex?small&space;Leftrightarrowleft&space;[begin{matrix}&space;cosfrac{x}{2}=1\&space;\&space;cosfrac{x}{2}=-3:&space;(L)&space;end{matrix}&space;right.

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosfrac{x}{2}=1Leftrightarrow&space;cosfrac{x}{2}=cos0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;frac{x}{2}=k2piLeftrightarrow&space;x=k4pi:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

gif.latex?small&space;b):&space;8cos^2x+2sinx-7=0

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x – 2sinx – 1 = 0 (phương trình bậc hai với ẩn sinx)

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;sinx=frac{1}{2}\&space;\&space;sinx=-frac{1}{4}&space;end{matrix}&space;right.gif.latex?small&space;Leftrightarrowleft&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{6}+k2pi\&space;x=frac{5pi}{6}+k2pi\&space;x=arcsinfrac{-1}{4}+k2pi\&space;x=pi-arcsinfrac{-1}{4}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy phương trình có tập nghiệm:

Tham khảo: STT cap hay khi đăng ảnh món ăn mới nhất 2022

gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{pi}{6}+k2pi;frac{5pi}{6}+k2pi;&space;arcsinleft&space;(-frac{1}{4}&space;right&space;)+k2pi;pi-arcsinleft&space;(-frac{1}{4}&space;right&space;)+k2pi&space;right&space;} (k ∈ Z).

gif.latex?small&space;c):&space;2tan^2x+3tanx+1=0

– Điều kiện: x ≠ π/2 + kπ

Ta có: 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (phương trình bậc 2 với ẩn tanx).

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;tanx=-1\&space;tanx=-frac{1}{2}&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=-frac{pi}{4}+kpi\&space;x=arctanleft&space;(-frac{1}{2}&space;right&space;)+lpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Đối chiếu với điều kiện ta thấy các nghiệm đều thỏa

Vậy phương trình có tập nghiệm: gif.latex?small&space;left&space;{&space;-frac{pi}{4}+kpi;arctanleft&space;(&space;-frac{1}{2}&space;right&space;)+kpi&space;right&space;}

gif.latex?small&space;d):&space;tanx-2cotx+1=0

– Điều kiện: gif.latex?small&space;left{begin{matrix}&space;xneq&space;frac{pi}{2}+kpi\&space;xneq&space;kpi&space;end{matrix}right.Leftrightarrow&space;xneq&space;kfrac{pi}{2}

– Ta có: gif.latex?small&space;tanx-2cotx+1=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;tanx-2.frac{1}{tanx}+1=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;tan^2x+tanx-2=0 (pt bậc 2 với tanx)

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;tanx=1\&space;tanx=-2&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{4}+kpi\&space;x=arctan(-2)+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Đối chiếu với điều kiện thấy các nghiệm đều thỏa

Vậy tập nghiệm của phương trình: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{pi}{4}+kpi;acrtan(-2)+kpi&space;right&space;}:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

* Bài 4 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + ncvanhoa.org.vn – 3cos2x = 0

b) 3sin2 x – ncvanhoa.org.vn + 5cos2x = 2

c) sin2x + sin2x – 2cos2x = 1/2

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

> Lời giải:

a) 2sin2x + ncvanhoa.org.vn – 3cos2x = 0 (*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (*) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cosx ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

gif.latex?small&space;(*)Leftrightarrow&space;2frac{sin^2x}{cos^2x}+frac{sinx}{cosx}-3=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2tan^2x+tanx-3=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;tanx=1\&space;tanx=-frac{3}{2}&space;end{matrix}&space;right.Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{4}+kpi\&space;x=arctan(-frac{3}{2})+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{pi}{4}&space;+kpi;acrtanleft&space;(&space;-frac{3}{2}&space;right&space;)+kpiright&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

b) 3sin2x – ncvanhoa.org.vn + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – ncvanhoa.org.vn + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – ncvanhoa.org.vn + 3 cos2x = 0 (*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (*) trở thành: 1 = 0 (vô lý).

+ Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

gif.latex?small&space;(*)Leftrightarrow&space;frac{sin^2x}{cos^2x}-4frac{sinx}{cosx}+3=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;tan^2x-4tanx+3=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;tanx=1\&space;tanx=3&space;end{matrix}&space;right.Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{4}+kpi\&space;x=arctan(3)+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{pi}{4}&space;+kpi;acrtanleft&space;(&space;3&space;right&space;)+kpiright&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

c) sin2x + sin2x – 2cos2x = 1/2

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;sin^2+2sinxcosx-2cos^2x=frac{1}{2}(sin^2x+cos^2x)

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;frac{1}{2}sin^2x+2sinxcosx-frac{5}{2}cos^2x=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;sin^2x+4sinxcosx-5cos^2x=0:&space;:&space;(*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(*) trở thành: 1 = 0 (vô lý).

+ Xét cosx ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

gif.latex?small&space;(*)Leftrightarrow&space;frac{sin^2x}{cos^2x}+4frac{sinx}{cosx}-5=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;tan^2x+4tanx-5=0

Tham khảo: Những câu nói làm stt giang hồ hay và chất nhất

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;tanx=1\&space;tanx=-5&space;end{matrix}&space;right.Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{4}+kpi\&space;x=arctan(-5)+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{pi}{4}&space;+kpi;acrtanleft&space;(&space;-5&space;right&space;)+kpiright&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

d) 2cos2x – 3√3sin2x – 4sin2x = -4

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2cos^2x-3sqrt{3}sinxcosx-4sin^2x gif.latex?small&space;=-4(sin^2x+cos^2x)

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;6cos^2x-6sqrt{3}sinxcosx=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;6cosx(cosx-sqrt{3}sinx)=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;cosx=0\&space;cosx-sqrt{3}sinx=0&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;cosx=0\&space;cosx=sqrt{3}sinx&space;end{matrix}&space;right.

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;cosx=0\&space;frac{sinx}{cosx}=frac{1}{sqrt{3}}&space;end{matrix}&space;right.&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;cosx=0\&space;tanx=frac{1}{sqrt{3}}&space;end{matrix}&space;right.

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{pi}{2}+kpi\&space;x=frac{pi}{6}+kpi&space;end{matrix}&space;right.:&space;:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{pi}{2}&space;+kpi;&space;frac{pi}{6}+kpiright&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

* Bài 5 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

gif.latex?small&space;a):&space;cosx-sqrt{3}sinx=sqrt{2}

gif.latex?small&space;b):&space;3sin3x-4cos3x=5

gif.latex?small&space;c):&space;2sinx+2cosx-sqrt{2}=0

gif.latex?small&space;d):&space;5cos2x+12sin2x-13=0

> Lời giải:

gif.latex?small&space;a):&space;cosx-sqrt{3}sinx=sqrt{2}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;frac{1}{2}cosx-frac{sqrt{3}}{2}sinx=frac{1}{sqrt{2}}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosfrac{pi}{3}cosx-sinfrac{pi}{3}sinx=cosfrac{pi}{4}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosleft&space;(&space;frac{pi}{3}+x&space;right&space;)=cosfrac{pi}{4}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x+frac{pi&space;}{3}=frac{pi}{4}+k2pi\&space;x+frac{pi&space;}{3}=-frac{pi}{4}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=-frac{pi}{12}+k2pi\&space;x=-frac{7pi}{12}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;-frac{pi}{12}&space;+k2pi;-&space;frac{7pi}{12}+k2piright&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

gif.latex?small&space;b):&space;3sin3x-4cos3x=5

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;frac{3}{5}sin3x-frac{4}{5}cos3x=1:&space;(*)

Ta thấy: gif.latex?small&space;left&space;(&space;frac{3}{5}&space;right&space;)^2+left&space;(&space;frac{4}{5}&space;right&space;)^2=1 nên tồng tại α thỏa mãn gif.latex?small&space;left{begin{matrix}&space;cosalpha&space;=frac{3}{5}\&space;sinalpha&space;=frac{4}{5}&space;end{matrix}right.

Khi đó (*) trở thành: cosα.sin3x – sinα.cos3x = 1

⇔ sin(3x – α) = 1

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;3x-alpha&space;=frac{pi}{2}+k2pi:&space;(kin&space;mathbb{Z})

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;x=frac{alpha}{3}+frac{pi}{6}+frac{kpi}{3}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy tập nghiệm của phương trình: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{alpha}{3}+frac{pi}{6}+frac{kpi}{3}right&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z}) với α thỏa mãn gif.latex?small&space;left{begin{matrix}&space;cosalpha&space;=frac{3}{5}\&space;sinalpha&space;=frac{4}{5}&space;end{matrix}right..

gif.latex?small&space;c):&space;2sinx+2cosx-sqrt{2}=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;2sinx+2cosx=sqrt{2}

gif.latex?small&space;Leftrightarrowfrac{1}{sqrt{2}}cosx+frac{1}{sqrt{2}}sinx=frac{1}{2}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosleft&space;(frac{pi}{4}&space;right&space;)cosx+sinleft&space;(frac{pi}{4}&space;right&space;)sinx=frac{1}{2}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;cosleft&space;(&space;x-frac{pi}{4}&space;right&space;)=cosfrac{pi}{3}

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x-frac{pi}{4}=frac{pi}{3}+k2pi\&space;x-frac{pi}{4}=-frac{pi}{3}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;left&space;[begin{matrix}&space;x=frac{7pi}{12}+k2pi\&space;x=-frac{pi}{12}+k2pi&space;end{matrix}&space;right.:&space;(kin&space;mathbb{Z})

Vậy phương trình có tập nghiệm là: gif.latex?small&space;left&space;{&space;frac{7pi}{12}+k2pi;-frac{pi}{12}+k2pi&space;right&space;}:&space;(kin&space;mathbb{Z})

gif.latex?small&space;d):&space;5cos2x+12sin2x-13=0

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;5cos2x+12sin2x=13

gif.latex?small&space;Leftrightarrow&space;frac{5}{13}cos2x+frac{12}{13}sin2x=1:&space;(*)

gif.latex?small&space;left&space;(&space;frac{5}{13}&space;right&space;)^2+left&space;(&space;frac{12}{13}&space;right&space;)^2=1 nên tồn tại α thỏa mãn gif.latex?small&space;left{begin{matrix}&space;cosalpha&space;=frac{5}{13}\&space;sinalpha&space;=frac{12}{13}&space;end{matrix}right.

(*) ⇔ cosα.cos2x + sinα.sin2x = 1

⇔ cos(2x – α) = 1

⇔ 2x – α = kπ (k ∈ Z)

⇔ x = (α/2) + kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có họ nghiệm: {(α/2) + kπ} (k ∈ Z) với α thỏa mãn gif.latex?small&space;left{begin{matrix}&space;cosalpha&space;=frac{5}{13}\&space;sinalpha&space;=frac{12}{13}&space;end{matrix}right.

Danh mục: Giáo dục

Nguồn: https://ncvanhoa.org.vn

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.